Với môn toán học lớp 8 thì đáng chú ý nhất là toán đa thức, với một đa thức sẽ có nhiều câu hỏi xoay quanh và liên quan. Từ một đa thức có thể sẽ ra được rất nhiều đề toán khác nhau, sau đây là một vài đề toán lấy từ đa thức a^3 + b^3 + c^3 – 3abc để làm ví dụ minh họa cho các bạn dễ hiểu hơn.
Những đề toán liên quan đến đa thức a^3 + b^3 + c^3 – 3abc
Đề 1: Chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)
Trong bài 31 của SGK toán lớp 8 chúng ta có chứng minh a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b),
chúng ta có thể giả dụ đã chứng minh được vớ trên và thay vào đa thức ta có :
a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a+b)^3 – 3ab(a+b) + c^3 – 3abc = ((a+b)^3 + c3) – (3ab + 3abc) =(a+b+c)((a+b)^2 – (a+b).c + c^2) – 3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)^2 – (a+b)c + c^2 – 3ab)
= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 – ac – bc + c^2 – 3ab)
Sắp xếp lại thì chúng ta có
=(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ac – bc – 3ab) như đề bài cho.
Đề 2: Chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a +b +c)^3 – a^3 – b^3 – c^3
Cũng giống như trên đề 1, áp dụng hằng đẳng thức từ sách giáo khoa lớp 8 chúng ta đã chứng minh được rằng a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a+b).
Dựa vào hằng đẳng thức để giải toán
Để chứng minh được rằng a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a +b +c)^3 – a^3 – b^3 – c^3
Chúng ta có:
a^3 + b^3 + c^3 – 3abc
= a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2.bc + 3ab^2 + 3ab.c^2 – a^3 – b^3 – c^3
= 3a^2.bc + 3a.b^2.c + 3ab.c^2
= 3abc(a+b+c)
Đề thứ 3: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để a^3 + b^3 + c^3 = 3abc là a = b = c hoặc a + b + c = 0
Cách làm như sau:
Chúng ta có a^3 + b^3 + c^3 − 3abc
= a^3 + 3ab(a + b) + b^3 + c^3 − 3abc − 3ab(a + b)
= (a + b)^3 + c^3 − 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 − ab − ac + c^2) − 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca)
Và a^3 + b^3 + c^3 = 3abc khi mà a + b + c = 0
hoặc là trường hợp a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca = 0
Chúng ta có ( a – b )^2 + (b – c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 với mọi a,b,c (= khi a = b = c)
Rút gọn lại thì ta được a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca ≥ 0 với mọi a,b,c (= khi a = b = c)
=> a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca = 0 khi a = b = c
Vậy kết luận a^3 + b^3 + c^3 = 3abc khi a = b = c hoặc a + b + c = 0
Kết luận
Mong rằng một số đề bài và cách giải ví dụ cho đa thức a^3 + b^3 + c^3 – 3abc sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình giải toán của mình. Chúc các bạn thành công!
